El patrón recientemente descubierto se asemeja sorprendentemente con la distribución atómica en cristales.

Los números primos han fascinado a los matemáticos por siglos, tanto así que han sido catalogados como «los bloques de construcción de las matemáticas», debido a su naturaleza altamente impredecible y aparentemente aleatoria.

Ahora, un equipo de investigadores de la Princeton University ha descubierto un patrón extraño en el caos de los primos. Sus novedosas técnicas de modelado revelaron una sorprendente similitud entre primos y ciertos materiales cristalinos naturales, una similitud que puede tener implicaciones significativas para la física y la ciencia de los materiales.

¿Qué son los primos?

Los números primos son enteros (números enteros) que solo pueden dividirse por sí mismos o el número 1, y aparecen a lo largo de la recta numérica de una manera muy errática.

Comienzan como 2, 3, 5, 7, 11 y siguen hasta el infinito. Sin embargo, cuanto más avanzas en la recta numérica, más aleatoria parece ser la distribución de los números primos. La falta de un patrón evidente fue mejor resumida por el matemático británico RC Vaughan:

“Es evidente que los números primos se distribuyen aleatoriamente pero, desafortunadamente, no sabemos qué significa ‘aleatorio'”.

Este trastorno no está exento de sus usos. Algunos de los tipos más importantes de criptografía moderna se basan en la extremada imprevisibilidad de los números primos muy grandes. Por ejemplo, el algoritmo de encriptación RSA ampliamente utilizado se basa en el hecho de que es fácil tomar dos números primos muy grandes y multiplicarlos, pero es extremadamente difícil tomar un número muy grande y averiguar qué primos se multiplicaron para formar ese gran número (aquí se explican en detalle los detalles específicos de cómo funciona esto en el contexto del cifrado RSA.)

No obstante, los primos siguen siendo responsables de una serie de problemas no resueltos en matemáticas, como la infame Hipótesis de Reimann, y se mantienen a la vanguardia del campo desde que los primeros griegos los documentaron por primera vez.

Una corazonada productiva

Los químicos y físicos generalmente estudian la estructura de un material disparando rayos X a una muestra y observando cómo los rayos se dispersan en los átomos dentro de él. Este proceso se conoce como difracción de rayos X, donde diferentes materiales producen diferentes patrones dependiendo de qué tan simétricamente estén dispuestos sus átomos.

Un líquido, cuyos átomos se mezclan y se mueven, dispersará los rayos X por todo el lugar y no creará un patrón, mientras que la retícula de átomos de un cristal (como la sal o el diamante) los difractará de una manera más ordenada debido a su estructura interna repetitiva. Además, los materiales raros conocidos como cuasicristales crean patrones de difracción similares sin tener una estructura atómica repetitiva. Tanto en cristales como en cuasicristales, los rayos X típicamente forman un patrón de puntos brillantes periódicos conocidos como «picos de Bragg» ya que los rayos interfieren constructivamente entre sí en intervalos fijos.

El año pasado, el químico teórico y profesor de Princeton, Salvatore Torquato tuvo una corazonada: ¿y si los números primos se modelaran como partículas atómicas? ¿Crearían un patrón también?

Junto con su estudiante Ge Zhang y el teórico de los números Matthew de-Courcy-Ireland, Torquato representó computacionalmente los primos como una cadena de átomos unidimensional y dispersó la luz de ellos. El resultado fue asombroso: no solo crearon un patrón de interferencia cuasicristalino, sino que fue un tipo de patrón fractal que nunca se había visto antes. Torquato le dijo a Quanta Magazine que esto implica que los números primos «son una categoría completamente nueva de estructuras» cuando se consideran como un sistema físico.

Curiosamente, este patrón fractal único solo aparece en tramos suficientemente largos de la recta numérica: en tramos más cortos, el patrón no emerge. Conocida como «hiperuniformidad», esta es una propiedad rara que solo unos pocos materiales y sistemas en la naturaleza demuestran, como la disposición de células de cono de detección de color en los ojos de las aves, ciertas emulsiones y cuasi-cristales, la estructura a gran escala del universo, y como resulta, los números primos.

Si bien los hallazgos del equipo no son revolucionarios para la teoría de números (ya que la mayoría de las matemáticas relevantes se han visto anteriormente en otras formas), pueden resultar útiles en una nueva área de investigación conocida como «orden aperiódico»: el estudio de patrones no repetitivos.

Gran parte de la emoción que rodea al papel proviene de su intersección única entre los reinos matemáticos físicos y más abstractos. Henry Cohn, un investigador principal de Microsoft Research que no participó en el estudio, dijo a Princeton:

“Es una perspectiva nueva y hermosa sobre esta información, y abre nuevas conexiones con la ciencia de los materiales y la teoría de la dispersión”.

Además, el documento afirma haber producido un algoritmo que «permite predecir números primos con gran precisión». Si bien la utilidad de tal herramienta aún no se conoce, marca un paso más para resolver de manera concluyente el enigma de los números primos.

El estudio ha sido publicado en Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment.